comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento x\in X con un (y sólo un) y\in Y se denota f(x)=y\,, en lugar de (x,y)\in f.
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por {\rm dom}(f)\, o {\rm dom}_f\,. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
{\rm codom}(f)\, o codomf
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función.
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.
Ejemplos
* La función definida por f(x)=x+1\,, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales (\mathbb{R}).
* Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.
Ejemplo:
5 X
4 X
3 X
2 X
1 X
0 X
y / x -2 -1 0 1 2 3
Clasificación de las funciones
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
Conjuntos 01.svg
* Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
* Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
* Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.
* la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
* la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
* la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
